Question

（2013•东坡区一模）已知数列{a_n}中，a₁=6，a_n+1=a_n+1，数列{b_n}，点（n，b_n）在过点A（0，1）的直线l上，若l上有两点B、C，向量

BC

=（1，2）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=2 bn，在a_k与a_k+1之间插入k个c_k，依次构成新数列，试求该数列的前2013项之和；
（3）对任意正整数n，不等式（1+

1

b1

）（1+

1

b2

）•…•（1+

1

bn

）-a

n-2+an

≥0恒成立，求正数a的范围．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1-a_n=1且a₁=6，知a_n=n+5，再由已知得到

AP

∥

BC

，从而y=2x+1，又l过点（n，b_n），推导出b_n=2n+1，从而可求得．
（2）新数列：a₁，c₁，a₂，c₂，c₂，a₃，c₃，c₃，c₃，a₄，…，a_k，c_k，…，a_k+1，共计有项数：k+1+

k+1

2

•k．经估算k=62，k+1+

k+1

2

•k=2016，项数接近2013，由此能求出该数列的前2013项之和．
（3）变量分离得：a≤

(1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )…(1+ 1 bn )

2n+3

恒成立，由此能求出正数a的范围．

解答：解：（1）∵a_n+1-a_n=1且a₁=6，∴a_n=n+5，…（1分）
设l上任意一点P（x，y），则

AP

=（x，y-1），
由已知可得

AP

∥

BC

．
∴y=2x+1，又l过点（n，b_n），
∴b_n=2n+1．…（4分）
（2）新数列：a₁，c₁，a₂，c₂，c₂，a₃，c₃，c₃，c₃，a₄，…，a_k，c_k，…，a_k+1，
共计项数：k+1+

k+1

2

•k
经估算k=62，k+1+

k+1

2

•k=2016，项数接近2013，…（5分）
∴S₂₀₁₃=（a₁+a₂+…+a₆₂）+（1×c₁+2×c₂+…+62×c₆₂）-2c₆₂       …（6分）
令T=1×c₁+2×c₂+…+62×c₆₂，
T=1×2³+2×2⁵+3×2⁷+…+62×2¹²⁵
4T=1×2⁵+2×2⁷+…+61×2¹²⁵+62×2¹²⁷
两式相减得：T=

8+185×2127

9

     …（8分）
∴S₂₀₁₃=

6+67

2

+

8+185×2127

9

-2×2¹²⁵=2263+

8+722×2125

9

．…（9分）
（3）变量分离得：a≤

(1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )…(1+ 1 bn )

2n+3

恒成立．…（10分）
令g（n）=

(1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )…(1+ 1 bn )

2n+3

     …（11分）
∴

g(n+1)

g(n)

=

(1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )…(1+ 1 bn )(1+ 1 bn+1 )

2n+5

×

2n+3

(1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )×…×(1+ 1 bn )

=

2n+4

2n+3 2n+5

≥1…（13分）
∵{g（n）}递增数列．
∴a∈（0，g（1））=（0，

4

15

5

]．…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查正数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．