Question

（2013•东城区模拟）已知几何体A-BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．
（Ⅰ）求此几何体的体积V的大小；
（Ⅱ）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；
（Ⅲ）试探究在棱DE上是否存在点Q，使得AQ⊥BQ，若存在，求出DQ的长，不存在说明理由．

Answer 1

分析：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，求得 S_梯形BCED 的值，再由此几何体的体积V=

1

3

•S_梯形BCED•AC，运算求得结果．
（2）建立空间直角坐标系，求得

DE

、

AB

的坐标，可得

DE

•

AB

 的值以及|

DE

|和|

AB

|的值，再由两个向量的夹角公式求得两个向量

DE

 和

AB

夹角的余弦值，再取绝对值，即得所求．
（3）由题意可得存在λ（0＜λ＜1）使得

DQ

=λ

DE

，根据

BQ

=

BD

+

DQ

=

BD

+λ

DE

，求得结果，同理求得

AQ

=(-4，4-4λ，3λ+1)．再由

AQ

•

BQ

=0，解得λ的值，可得点Q存在，由此求得DQ的长．

解答：解：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，
∴S_梯形BCED=

1

2

（4+1）×4=10．
∴此几何体的体积V=

1

3

•S_梯形BCED•AC=

1

3

×10×4=

40

3

．--------（4分）
（2）以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4），
∴

DE

=（0，-4，3），

AB

=（-4，4，0），∴

DE

•

AB

=0-16+0=-16，|

DE

|=5，|

AB

|=4

2

．
∴cos＜

DE

 

AB

＞=

DE • AB

| DE |•| AB |

=

-16

5•4 2

=-

2 2

5

．
∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为

2 2

5

．---------（4分）
（3）∵点Q在棱DE上，∴存在λ（0＜λ＜1）使得

DQ

=λ

DE

，
∴

BQ

=

BD

+

DQ

=

BD

+λ

DE

=(0，0，1)+λ(0，-4，3)=(0，-4，3λ+1)，
同理

AQ

=(-4，4-4λ，3λ+1)．
∵

AQ

⊥

BQ

，∴

AQ

•

BQ

=0，即0×（-4）+（-4）×（4-4λ）+（3λ+1）²=0，
解得λ=

1

5

，故满足题设的点Q存在，DQ的长为1．-------------（14分）

点评：本题主要考查直线和平面垂直的性质，异面直线所称的角的求法，两个空间向量坐标形式的运算，求棱锥的体积，
属于中档题．