Question

若函数满足：在定义域内存在实数，使(k为常数)，则称“f（x）关于k可线性分解”．
（Ⅰ）函数是否关于1可线性分解?请说明理由；
（Ⅱ）已知函数关于可线性分解，求的取值范围；
（Ⅲ）证明不等式：．

Answer 1

（Ⅰ）是关于1可线性分解；（Ⅱ）a的取值范围是；（Ⅲ）详见解析．

试题分析：（Ⅰ）函数是否关于1可线性分解，关键是看是否存在使得成立，若成立，是关于1可线性分解，否则不是关于1可线性分解，故看是否有解，构造函数，看它是否有零点，而，观察得，，有根的存在性定理可得存在，使；（Ⅱ）先确定定义域为，函数关于可线性分解，即存在，使，即有解，整理得有解，即，从而求出的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：，当时，，对求导，判断最大值为，可得，分别令，叠加可得证结论．
试题解析：（Ⅰ）函数的定义域是R，若是关于1可线性分解，
则定义域内存在实数，使得．
构造函数
．
∵，且在上是连续的，
∴在上至少存在一个零点．
即存在，使．             4分
（Ⅱ）的定义域为．
由已知，存在，使．
即．
整理，得，即．
∴，所以．
由且，得．
∴a的取值范围是．                  9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a =1，，．
当时，，所以的单调递增区间是，当时，，所以的单调递减区间是，因此时，的最大值为，所以，即，因此得：，，，，，以上各式相加得：，即，所以，即．                １４分