Question

设p：

m-2

m-3

≤

2

3

，q：关于x的不等式x²-4x+m²≤0的解集是空集，试确定实数m的取值范围，使得p∨q为真命题，p∧q为假命题．

Answer 1

分析：通过解分式不等式求得命题p为真时m的范围；根据一元二次不等式解集为空集的条件求得命题q为真时m的范围，再根据复合命题真值表知，
若p∨q真，p∧q假，则命题p、q一真一假，分别求出当p真q假时和当p假q真时m的范围，再求并集．

解答：解：

m-2

m-3

≤

2

3

得0≤m＜3，故命题p为真时，0≤m＜3；
由不等式x²-4x+m²≤0的解集是空集，得△=16-4m²＜0⇒m＜-2或m＞2．
由复合命题真值表知，若p∨q真，p∧q假，则命题p、q一真一假，
当p真q假时，即

0≤m＜3 -2≤m≤2

⇒0≤m≤2．
当p假q真时，即

m≥3或m＜0 m＜-2或m＞2

⇒m＜-2或m≥3．
综上得，m∈（-∞，-2）∪[0，2]∪[3，+∞）．

点评：本题借助考查复合命题的真假判定，考查了分式不等式的解法及一元二次不等式的解集，解题的关键是求得简单命题为真时的条件．