Question

11．已知抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程为x=-1，斜率为1的直线过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点，求线段AB的长度．

Answer 1

分析 抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程为x=-1，可得$\frac{p}{2}$=1，解得p可得：抛物线方程为y²=4x，直线AB的方程为：y=x-1．与抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式即可得出．

解答 解：∵抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程为x=-1，
∴$\frac{p}{2}$=1，解得p=2．
∴抛物线方程为y²=4x，直线AB的方程为：y=x-1．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为x²-6x+1=0．
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=1，
∴|AB|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2（{6}^{2}-4）}$=8．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．