Question

已知函数.

（1）当时，求函数图象在点处的切线方程；

（2）当时，讨论函数的单调性；

（3）是否存在实数，对任意的恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.

 

Answer 1

（1）；

（2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；

（3）

【解析】

试题分析：（1）利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程，注意这个点的切点,利用导数的几何意义求切线的斜率；（2）首先求导数，然后根据参数取值的不确定性，对其进行分类讨论求解，分类讨论不要出现遗漏，不要出现重复现象；（3）与函数有关的探索问题：第一步：假设符合条件的结论存在；第二步：从假设出发，利用题中关系求解；第三步，确定符合要求的结论存在或不存在；第四步：给出明确结果；第五步：反思回顾，查看关键点.

试题解析： 【解析】
1分

（1）当时，，，

∴所求的切线方程为，

即. 4分

（2）①当，即时，

，在上单调递增．

②当，即时，

或时，；2时，，

在上单调递增，在上单调递减；

③当，即时，或时，；

时，，在上单调递增，在上单调递减 9分

（3）假设存在这样的实数满足条件，不妨设2.

由知成立，

令，

则函数在上单调递增，

，

即在上恒成立．

，故存在这样的实数满足题意，

其范围为 14分

考点：1、求曲线的切线方程；2、利用导数求函数的单调性；3、与函数有关的探索性问题.