Question

（2009•南通二模）已知函数f（x）=ax²-bx+1．
（Ⅰ）若f（x）＞0的解集是（-1，3），求实数a，b的值；
（Ⅱ）若a为整数，b=a+2，且函数f（x）在（-2，-1）上恰有一个零点，求a的值．

Answer 1

分析：（I）由f（x）＞0的解集是（-1，3），可得方程ax²-bx+1=0的两根是-1和3，由韦达定理可得实数a，b的值．
（II）当a=0时，f（x）=0，x=

1

2

，不合题意，当a≠0时，可得函数f（x）有两个零点，进而根据函数f（x）在（-2，-1）上恰有一个零点，可得f（-2）f（-1）＜0，结合a为整数，可得答案．

解答：解：（Ⅰ）∵不等式ax²-bx+1＞0解集是（-1，3），
故方程ax²-bx+1=0的两根是x₁=-1，x₂=3，

1

a

=x1x2=-3，

b

a

=x1+x2=2．                                  （4分）
所以a=-

1

3

，b=-

2

3

．                                           （6分）
（Ⅱ）当a=0时，f（x）=0，x=

1

2

，不合题意．                            （8分）
当a≠0时，
∵b=a+2，
∴f（x）=ax²-（a+2）x+1
∵△=（a+2）²-4a＞0
函数f（x）=ax²-bx+1必有两个零点，（9分）
又函数f（x）在（-2，-1）上恰有一个零点，故f（-2）f（-1）＜0，（11分）
即（6a+5）（2a+3）＜0，
解得-

3

2

＜a＜-

5

6

，（13分）
又a∈Z，
∴a=-1．                                               （14分）

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，函数零点的判定定理，（I）的关键是根据不等式式解集与对应方程根的关系得到方程ax²-bx+1=0的两根是-1和3，（II）的关键是得到f（-2）f（-1）＜0．