Question

【题目】对于无穷数列，若对任意，满足且（是与无关的常数），则称数列为数列.

（1）若（），判断数列是否为数列，说明理由；

（2）设，求证：数列是数列，并求常数的取值范围；

（3）设数列（，），问数列是否为数列？说明理由.

Answer 1

【答案】（1）是数列，见解析；（2）；证明见解析；（3）见解析.

【解析】

（1）由，得到，整理后可得当为偶数时，进而可得得到数列不是数列；

（2）由，得到时，，此时数列单调递增，当时，，此时数列单调递减，得到数列的最大项，由此求得常数的取值范围；

（3）当时，对于有，可得当时数列是数列，当时，数列不是数列，当时，数列不是数列.

（1）由，

可得，

当为偶数时，，所以数列不是数列.

（2）证明：因为，

所以当时，即时，，此时数列单调递增，

当时，，此时数列单调递减，

则数列的最大项为，所以的取值范围内是.

（3）①当时，当时，，

由，解得，

即当时，符合，

若，则，此时，

于是，

由对于，有，所以当时，数列是数列；

②当时，取，则，

由，所以当时，数列不是数列；

③当时，取，则，

由，所以当时，数列不是数列.

综上可得：当时，数列是数列；当时，数列不是数列.