Question

【题目】已知△的三个内角、、所对应的边分别为、、，复数，，（其中是虚数单位），且.

（1）求证：，并求边长的值；

（2）判断△的形状，并求当时，角的大小.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析，；（2） 或.

【解析】

（1）利用余弦定理将中的用边表示，化简可证得；再将展开运算，利用复数相等，求出边长c的值．

（2）结合（1）中的结论利用正弦定理可得，得到或，从而得到三角形的形状，再利用直角三角形和等腰三角形的特点求得A．

（1）证明：由余弦定理得 ，

则

所以 ．

由题意得 ，

即 ，

由复数相等的定义可得

，且 ，

即 ．

（2）由（1）得 ．

由正弦定理得 ，

即 ．

因为 、，

所以 或 ，

即 或，即或．

所以 知等腰三角形或直角三角形．

当时， ，所以；

当时，，所以 ．