题目内容
试证明G为△ABC重心的充要条件是
+
+
=0.
证明：充分性(由+
+
=0，推证G为△ABC的重心).
如右图，延长
到D，使
=
且
与
交于点M，连结
、
.
∵
+
+
=0，
∴
=-(
+
)，即
=
+
.
又∵
=
,∴
=
+
.
由向量加法的平行四边形法则知四边形GBDC为平行四边形，由于平行四边形的对角线互相平分，可知M为BC的中点，M也为GD中点，∴AM是中线且G在AM上.
又
=
，
=2
，∴
=2
.
∴
=
.∴G为△ABC的重心.
下面证明必要性(由G为△ABC的重心推证
+
+
=0).
如图，延长
与
交于D点，∴
为
边上的中线，D为
的中点.
∵G是△ABC的重心，由向量加法的平行四边形法则，可知
+
=2
.又由于G为△ABC的重心，
∴
=2
.
∴
=
+
.
∴-
+
+
=0,
即
+
+
=0.
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．
．
=
（
+
）.
=
（
+
+
）.