题目内容

求证:f(n)=(2n+7)·3n+9(n∈N*)能被36整除.

证明：用数学归纳法.

(1)当n=1时,f(1)=(2×1+7)×3+9=36,能被36整除.

(2)假设n=k时,f(k)能被36整除,

则当n=k+1时,f(k+1)=［2(k+1)+7］·3k+1+9

=3［(2k+7)·3k+9］+18(3k-1-1).

由归纳假设,知3［(2k+7)·3k+9］能被36整除,

而3k-1-1是偶数,

∴18(3k-1-1)能被36整除.

∴n=k+1时,f(k+1)能被36整除.

由(1)(2)可知,对任何n∈N*,f(n)能被36整除.

练习册系列答案
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精英家教网如图，已知曲线C：y=
1
x
，Cn：y=
1
x+2-n
(n∈N*)．从C上的点Qn（xn，yn）作x轴的垂线，交Cn于点Pn，再从Pn作y轴的垂线，交C于点Qn+1（xn+1，yn+1）．设x1=1，an=xn+1-xn，bn=yn-yn+1．
（I）求a1，a2，a3的值；
（II）求数列{an}的通项公式；
（III）设△PiQiQi+1（i∈N*）和面积为Si，记f(n)=
n
i=1
Si，求证f(n)＜
1
6
.
下图中的三角形称为谢宾斯基（Sierpinski）三角形．这些三角形中的着色与未着色的三角形的个数具有一定的规律．按图（1）、（2）、（3）、（4）四个三角形的规律继续构建三角形，设第n个三角形中包含f（n）个未着色三角形．

（Ⅰ）求出f（5）的值；
（Ⅱ）写出f（n+1）与f（n）之间的关系式，并由此求出f（n）的表达式；
（Ⅲ）设an=
2f(n+1)+1
f(n+1)•f(n+2)
(n∈N*)，数列{an}的前n项和为Sn，求证：
3
4
≤Sn＜1．
（2012•江西模拟）已知函数f（x）=
1+lnx
x

（Ⅰ）若k＞0且函数在区间(k，k+
3
4
)上存在极值，求实数k的取值范围；
（Ⅱ）如果当x≥2时，不等式f(x)≥
a
x+2
恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）求证：n≥2，（2•3-2）（3•4-2）…[n（n+1）-2][（n+1）（n+2）-2]＞e2n-3．
（2012•海淀区二模）将一个正整数n表示为a1+a2+…+ap（p∈N*）的形式，其中ai∈N*，i=1，2，…，p，且a1≤a2≤…≤ap，记所有这样的表示法的种数为f（n）（如4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，故f（4）=5）．
（Ⅰ）写出f（3），f（5）的值，并说明理由；
（Ⅱ）对任意正整数n，比较f（n+1）与
12
[f(n)+f(n+2)]的大小，并给出证明；
（Ⅲ）当正整数n≥6时，求证：f（n）≥4n-13．
(1)比较log23与log34的大小;

(2)求证:log56·log54＜1;

(3)已知f(x)=logx(x+1),

①比较f(1 024)·f(1 025)·…·f(2 048)与1.1的大小;

②求证:f(n)＞f(n+1)(n∈N,n≥2).

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