Question

（2012•江西模拟）已知函数f（x）=

1+lnx

x

（Ⅰ）若k＞0且函数在区间(k，k+

3

4

)上存在极值，求实数k的取值范围；
（Ⅱ）如果当x≥2时，不等式f(x)≥

a

x+2

恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）求证：n≥2，（2•3-2）（3•4-2）…[n（n+1）-2][（n+1）（n+2）-2]＞e^2n-3．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，根据导数的符号判断函数的单调性，从而得到函数的极值为f（1），再由函数f（x）在区间(k，k+

3

4

)（其中k＞0）上存在极值可得

k＜1＜k+ 3 4 k＞0

，由此求得实数k的取值范围．
（Ⅱ）由题意可得x≥2时，

(x+2)(1+lnx)

x

≥a，根据导数的符号判断函数的单调性，求出函数

(x+2)(1+lnx)

x

 最小值，从而得到实数a的取值范围．
（Ⅲ）由（2）知：当a=3时，f(x)≥

3

x+2

恒成立，即lnx≥2-

6

x+2

，令 x=n（n+1）-2，则ln[n(n+1)-2]≥2-

6

n(n+1)

．可得 ln(2•3-2)≥2-

6

2•3

，ln(3•4-2)≥2-

6

3•4

，…ln[n(n+1)-2]≥2-

6

n(n+1)

，ln[(n+1)(n+2)-2]≥2-

6

(n+1)(n+2)

，把这n个不等式相加化简即得所证．

解答：解（Ⅰ）因为 函数f（x）=

1+lnx

x

，x＞0，则 f′（x）=-

lnx

x2

，
当 0＜x＜1时，＞0；当 x＞1时，f′（x）＜0．
所以 f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，
所以函数f（x）在 x=1处取得极大值；…．（2分）
因为函数f（x）在区间(k，k+

3

4

)（其中k＞0）上存在极值，
所以

k＜1＜k+ 3 4 k＞0

解得

1

4

＜k＜1；…．（4分）
（Ⅱ）不等式f(x)≥

a

x+2

，又x≥2，则

(x+2)(1+lnx)

x

≥a，记g(x)=

(x+2)(1+lnx)

x

，则g′(x)=

x-2lnx

x2

；…．（6分）
令h（x）=x-2lnx，则h′(x)=1-

2

x

，∵x≥2，h′（x）≥0，∴h（x）在[2，+∞）上单调递增，∴h（x）_min=h（2）=2-2ln2＞0，
从而 g′（x）＞0，故g（x）在[2，+∞）上也单调递增，所以g（x）_min=g（2）=2（1+ln2），
所以．a≤2（1+ln2）；…．（8分）
（Ⅲ）由（2）知：当a=3时，f(x)≥

3

x+2

恒成立，即1+lnx≥

3x

x+2

，lnx≥2-

6

x+2

，
令 x=n（n+1）-2，则ln[n(n+1)-2]≥2-

6

n(n+1)

；…．（10分）
所以 ln(2•3-2)≥2-

6

2•3

，ln(3•4-2)≥2-

6

3•4

，…ln[n(n+1)-2]≥2-

6

n(n+1)

，
，ln[(n+1)(n+2)-2]≥2-

6

(n+1)(n+2)

n个不等式相加得ln(2•3-2)+ln(3•4-2)…+ln(n(n+1)-2)+ln((n+1)(n+2)-2)＞2n-3+

6

n+2

＞2n-3
即（2•3-2）（3•4-2）…（n（n+1）-2）（（n+1）（n+2）-2）＞e^2n-3…．（14分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数在某点取得极值的条件，函数的恒成立问题，不等式性质的应用，属于难题．