Question

已知为常数，，函数，且方程有等根．
（1）求的解析式及值域；
（2）设集合，，若，求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，使的定义域和值域分别为和？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1），值域为；（2）；（3）存在，使的定义域和值域分别为和.

解析试题分析：（1）由方程有两个相等的实数根，则，得，又由，可求，从而求得，进而得出函数的值域；
（2）首先对集合进行分类：①；②；然后根据二次函数图像以及根的分布情况，分别确定实数的取值范围；最后将这两类情况的实数的取值范围取并集即可；
（3）由函数的最大值，确定，从而知当时，在上为增函数.若满足题设条件的存在，则，从而可求的值.  
试题解析：（1）                    
又方程，，即有等根，
，即，从而，.                                                    
又，值域为.               
（2），
①当时，，此时，解得；
②当时，设，对称轴，要，只需，解得， . 
综合①②，得.
（3），则有，.
又因为对称轴，所以在是增函数，即，
解得，.
∴存在，使的定义域和值域分别为和.
考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；函数解析式的求解及常用方法；二次函数在闭区间上的最值．