Question

设函数．
（1）若是函数的一个极值点，试求出关于的关系式（用表示），并确定的单调区间；
（2）在（1）的条件下，设，函数．若存在使得成立，求的取值范围．

Answer 1

：当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，函数单调递增区间为和，单调递减区间为

解：（1）∵＝-------1分
且是函数的一个极值点  ∴-------------------------------------------2分
即，解得 -------------3分
则＝
令，得或------------------------4分
∵是极值点，∴，即   
当即时，由得或
由得-------------------------------------5分
当即时，由得或
由得-------------------------------------6分
综上可知：当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，函数单调递增区间为和，单调递减区间为------------------8分
（2）由（1）知，当a>0时，在区间（0，1）上的单调递减，在区间（1，4）上单调递增，
∴函数在区间上的最小值为----------------------------------9分
又∵，，
∴函数在区间[0，4]上的值域是，即--------------11分
又在区间[0，4]上是增函数，
且它在区间[0，4]上的值域是--------------------------------------------12分
∵－＝＝，
∴存在使得成立只须仅须
－<1.--------14分