Question

7．已知函数f（x）=$\sqrt{4-x}+{log_3}$（x-2）的定义域为集合A，函数$g（x）={log_2}x，（\frac{1}{4}≤x≤8）$的值域为集合B．
（1）求A∪B；
（2）若集合C={x|a≤x≤3a-1}，且B∩C=C，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出集合A={x|2＜x≤4}，B={x|-2≤x≤3}，再直接取它们的并集；
（2）问题等价为C⊆B，再对集合C分类讨论，得出实数a的取值范围．

解答 解（1）函数f（x）的自变量x需满足条件$\left\{\begin{array}{l}{4-x≥0}\\{2-x＞0}\end{array}\right.$，
解得，2＜x≤4，所以，A={x|2＜x≤4}，
对于函数g（x），因为$\frac{1}{4}$≤x≤8，
所以，g（x）=log₂x∈[-2，3]，
因此，B={x|-2≤x≤3}，
所以，A∪B={x|-2≤x≤4}；
（2）由B∩C=C得，C⊆B，对集合C讨论如下：
①当C=∅时，a＞3a-1，解得a＜$\frac{1}{2}$，
因为空集是任何集合的子集，故符合题意；
②当C≠∅时，需要满足下列条件：
$\left\{\begin{array}{l}{a≤3a-1}\\{a≥-2}\\{3a-1≤3}\end{array}\right.$，解得，$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{4}{3}$，
综合以上讨论得，实数a的取值范围为：（-∞，$\frac{4}{3}$]．

点评 本题主要考查了交集及其运算，对数函数的图象与性质，以及空集的性质，体现了分类讨论的解题思想，属于中档题．