Question

（2013•湖南）已知函数f(x)=cosx•cos(x-

π

3

)
（1）求f(

2π

3

)的值；
（2）求使f(x)＜

1

4

 成立的x的取值集合．

Answer 1

分析：（1）将x=

2π

3

代入f（x）解析式，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简即可得到结果；
（2）f（x）解析式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数，变形后，利用余弦函数的图象与性质即可得到满足题意x的集合．

解答：解：（1）f（

2π

3

）=cos

2π

3

cos（

2π

3

-

π

3

）=cos

2π

3

cos

π

3

=-cos²

π

3

=-

1

4

；
（2）f（x）=cosxcos（x-

π

3

）=cosx（

1

2

cosx+

3

2

sinx）
=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx=

1

4

（1+cos2x）+

3

4

sin2x=

1

2

cos（2x-

π

3

）+

1

4

，
∴f（x）＜

1

4

，化为

1

2

cos（2x-

π

3

）+

1

4

＜

1

4

，即cos（2x-

π

3

）＜0，
∴2kπ+

π

2

＜2x-

π

3

＜2kπ+

3π

2

（k∈Z），
解得：kπ+

5π

12

＜x＜kπ+

11π

12

（k∈Z），
则使f（x）＜

1

4

成立的x取值集合为{x|kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

（k∈Z）}．

点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及余弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．