Question

正项数列{a_n}的前n项和S_n满足：

S

2 n

-（n²+n-1）S_n-（n²+n）=0
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令b_n=

an

2n

，数列{b_n}的前n项和为T_n，证明：对任意的n∈N^*，都有T_n＜4．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）正项数列{a_n}的前n项和S_n满足

S

2 n

-（n²+n-1）S_n-（n²+n）=0，可得(Sn-n2-n)(Sn+1)=0，S_n=n²+n．利用递推式即可得出．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式得出T_n，即可证明．

解答： （1）解：∵正项数列{a_n}的前n项和S_n满足

S

2 n

-（n²+n-1）S_n-（n²+n）=0，
∴(Sn-n2-n)(Sn+1)=0，
∴S_n=n²+n．
当n≥2时，Sn-1=(n-1)2+(n-1)，
∴a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=2n．
当n=1时，a₁=S₁=2，也成立．
∴a_n=2n．
（2）证明：b_n=

an

2n

=

n

2n-1

，
数列{b_n}的前n项和为T_n=

1

1

+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，
∴

1

2

Tn=

1

2

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，
∴

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

2+n

2n

，
∴T_n=4-

2+n

2n-1

＜4．

点评：本题考查了递推式的应用、“错位相减法”与等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．