Question

如图，椭圆短轴的左右两个端点分别为A，B，直线l：y=kx+1与x轴、y轴分别交于两点E，F，与椭圆交于两点C，D．
（Ⅰ）若，求直线l的方程；
（Ⅱ）设直线AD，CB的斜率分别为k₁，k₂，若k₁：k₂=2：1，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由得（4+k²）x²+2kx-3=0，再由判别式和根与系数的关系可推导出所求直线l的方程为2x-y+1=0或2x+y-1=0．
（Ⅱ）由题设知y₁²=4（1-x₁²），y₂²=4（1-x₂²），由此推出3x₁x₂+5（x₁+x₂）+3=0，所以3k²-10k+3=0，由此可推导出k的值．
解答：解：（Ⅰ）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由得（4+k²）x²+2kx-3=0，
△=4k²+12（4+k²）=16k²+48，，，（2分）
由已知，
又，所以（4分）
所以，即，（5分）
所以，解得k=±2，（6分）
符合题意，
所以，所求直线l的方程为2x-y+1=0或2x+y-1=0．（7分）
（Ⅱ），，k₁：k₂=2：1，
所以，（8分）
平方得，（9分）
又，所以y₁²=4（1-x₁²），同理y₂²=4（1-x₂²），代入上式，
计算得，即3x₁x₂+5（x₁+x₂）+3=0，（12分）
所以3k²-10k+3=0，解得k=3或，（13分）
因为，x₁，x₂∈（-1，1），所以y₁，y₂异号，故舍去，
所以k=3．（14分）
点评：本题考查圆锥曲线的综合运用，是历年高考题的重要题型之一，解题时要注意计算能力的培养，注意积累解题方法．