设函数f(x)=lnx.且x0.x1.x2∈.下列命题:①若x1＜x2.则$\frac{1}{{x} {2}}$＞$\frac{f}{{x} {1}-{x} {2}}$②存在x0∈(x1.x2).(x1＜x2).使得$\frac{1}{{x} {0}}=\frac{f}{{x} {1}-{x} {2}}$③若x1＞1.x2＞1.则$\frac{f}{{x} {1}-{x} {2}}$＜1� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

18．设函数f（x）=lnx，且x₀、x₁、x₂∈（0，+∞），下列命题：
①若x₁＜x₂，则$\frac{1}{{x}_{2}}$＞$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$
②存在x₀∈（x₁，x₂），（x₁＜x₂），使得$\frac{1}{{x}_{0}}=\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$
③若x₁＞1，x₂＞1，则$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜1
④对任意的x₁、x₂，都有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）$＞\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$
其中正确的是②③④（把你认为正确结论的序号都填上）．

分析由f（x）=lnx得f'（x）=$\frac{1}{x}$（x＞0），f'（x₁）=$\frac{1}{{x}_{1}}$表示在x₁处的切线斜率，
$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$表示x₁与x₂两点连线的斜率，由此判断题目中的命题是否正确即可．

解答解：由f（x）=lnx，得f'（x）=$\frac{1}{x}$（x＞0）；
f'（x₁）=$\frac{1}{{x}_{1}}$表示在x₁处的切线斜率，$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$表示x₁与x₂两点的斜率；
①若x₁＜x₂，由图象考查直线的斜率不满足$\frac{1}{{x}_{2}}$＞$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$，∴①不正确；
②存在x₀∈（x₁，x₂），（x₁＜x₂），图中蓝色的切线就是直线在x₀处的切线，
能够使得$\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$，∴②正确；
③若x₁＞1，x₂＞1，$\frac{1}{{x}_{i}}$＜1，i=1、2，所以$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$＜1，∴③正确；
④对任意的x₁，x₂，$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$表示x₁与x₂两点的斜率，且f（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）＞$\frac{f{（x}_{1}）+f{（x}_{2}）}{2}$，
∴④正确；
综上，正确的命题序号是②③④．
故答案为：②③④．

点评本题主要考查了导数的几何意义和函数的图象与性质的应用问题，是中档题．

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