Question

9．”公益行“是由某公益慈善基金发起并主办的一款将用户的运动数据转化为公益步数的捐助公益项目的产品，捐助规则是满10000步方可捐助且个人捐出10000步等价于捐出1元，现粗略统计该项目中其中200名的捐助情况表如下：

捐款金额（单位：元）	[0，50）	[50，100）	[100，150）	[150，200）	[200，250）	[250，300）
捐款人数	4	152	26	10	3	5

（Ⅰ）将捐款额在200元以上的人称为“健康大使”，请在现有的“健康大使”中随机抽取2人，求捐款额在[200，250）之间人数ξ的分布列；
（Ⅱ）为鼓励更多的人来参加这项活动，该公司决定对捐款额在100元以上的用户实行红包奖励，具体奖励规则如下：捐款额在[100，150）的奖励红包5元，捐款额在[150，200）的奖励红包8元，捐款额在[200，250）的奖励红包10元，捐款额大于250的奖励红包15元，已知该活动参与人数有40万人，将频率视为概率，试估计该公司要准备的红包总金额．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得，捐款额在200元以上的人数共8人，从中任取2人，可能的方法种数为0，1，2，然后分别求其概率，则其分布列可求；
（Ⅱ）设红包金额为η，由图表可得η不同取值的概率，得到分布列，再由期望公式取得期望，乘以40可得该公司大约要准备的红包总额．

解答 解：（Ⅰ）捐款额在[200，250）之间人数ξ的所有情况是0，1，2．
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{3}^{0}•{C}_{5}^{2}}{{C}_{8}^{2}}=\frac{5}{14}$，P（ξ=0）=$\frac{{C}_{3}^{1}•{C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{2}}=\frac{15}{28}$，P（ξ=0）=$\frac{{C}_{3}^{2}•{C}_{5}^{0}}{{C}_{8}^{2}}=\frac{3}{28}$，
∴捐款额在[200，250）之间人数ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	$\frac{5}{14}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{3}{28}$

（Ⅱ）设红包金额为η，可得η的分布列为：

η	0	5	8	10	15
P	$\frac{39}{50}$	$\frac{13}{100}$	$\frac{5}{100}$	$\frac{3}{200}$	$\frac{5}{200}$

∴E（η）=0×$\frac{39}{50}$+5×$\frac{13}{100}$+8×$\frac{5}{100}$+10×$\frac{3}{200}$+15×$\frac{5}{200}$=$\frac{63}{40}$．
又$\frac{63}{40}×40=63$，
∴该公司要准备的红包总额大约为63万元．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列，考查离散型随机变量的期望与方程的求法，是中档题．