Question

【题目】在四棱锥中，底面是边长为2的菱形， ， ， ， ， 为的中点.

（1）证明： ；

（2）求二面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）见解析;（2）．

【解析】试题分析：（1）连接BD，在△ADB中，AD=AB，∠BAD=60°，可得△ADB是等边三角形．可得DE⊥AB．可得CD⊥平面PDE，即可证明PE⊥CD．

（2）作DM⊥PE，垂足为M，连接DM，CM，由CD⊥平面PDE，可得CM⊥PE，∠CMD是二面角C﹣PE﹣D的平面角．由CD⊥平面PDE，可得AB⊥PE．于是PE=3．在△PDE中，作EH⊥PD，H为垂足，可得sin∠EDP=

．在中，可得.

试题解析：

（1）在菱形中，因为， 为的中点，可得

，又因为，所以平面，

因此．

（2）过作，垂足为，连结．

由平面，得，

所以是二面角的平面角．

由， ，可得，

由为中点， ，所以．

又，

在中，由余弦定理得，

故，

所以．

在中，可得．

所以，二面角的正切值为．