Question

17．已知函数y=$\sqrt{3}$sin4x+cos4x．
（1）求它的周期，最大值，最小值；
（2）求它的单调递增区间；
（3）它可以由y=sinx的图象经过怎样的变化得到？

Answer 1

分析 （1）首先，借助于辅助角公式，化简函数解析式人，然后，确定其周期和最值；
（2）直接利用正弦函数的单调区间进行确定即可；
（3）借助于三角函数的图象变换进行表述即可．

解答 解：（1）∵y=$\sqrt{3}$sin4x+cos4x．
=2sin（4x+$\frac{π}{6}$），
∴f（x）=2sin（4x+$\frac{π}{6}$）．
∴它的周期T=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$，最大值2，最小值-2；
（2）∵-$\frac{π}{2}$+2kπ≤4x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{2π}{3}$+2kπ≤4x≤$\frac{π}{3}$+2kπ，
∴-$\frac{π}{6}$+$\frac{1}{2}$kπ≤x≤$\frac{π}{12}$+$\frac{1}{2}$kπ，
∴单调递增区间[-$\frac{π}{6}$+$\frac{1}{2}$kπ，$\frac{π}{12}$+$\frac{1}{2}$kπ]，k∈Z；
（3）将函数y=sinx的图象上所以各点向左平移$\frac{π}{6}$个单位，然后，纵坐标不变，横坐标缩短到原来是的$\frac{1}{4}$倍，然后，再将所得函数图象上所有各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍即可．

点评 本题重点考查了辅助角公式、二倍角公式、三角函数的图象变换等知识，属于中档题．