Question

（2012•眉山二模）如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=∠CEF=

π

2

，AD=

3

，EF=2．
（1）证明：AE∥平面DCF；
（2）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C为

π

3

；
（3）在（2）的条件下，求几何体ABE-DCF的体积．

Answer 1

分析：（1）过点E作EG⊥CF交CF于G，连接DG，证明四边形ADGE为平行四边形，可得AE∥DG，结合线面平行的判定定理，即可得到AE∥平面DCF；
（2）过点B作BH⊥FE交FE的延长线于H，连接AH，证明∠AHB是二面角A-EF-C的平面角，求得BH=BCsin∠BEH=

3 3

2

，即可求得AB的长；           
（3）连接AF，FB，则几何体ABE-DCF的体积为V=V_F-ABE+V_F-ABCD，由此可得结论．

解答：（1）证明：过点E作EG⊥CF交CF于G，连接DG，
可得四边形BCGE为矩形，又ABCD为矩形
所以AD∥EG且AD=EG，从而四边形ADGE为平行四边形
故AE∥DG
因为AE?平面DCF，DG?平面DCF
所以AE∥平面DCF
（2）解：∵平面ABCD⊥平面BEFC，AB⊥BC，∴AB⊥平面BEFC
过点B作BH⊥FE交FE的延长线于H，连接AH，∴AH⊥FE．
故∠AHB是二面角A-EF-C的平面角．                        
在Rt△EFG中，因为EG=AD=

3

，EF=2，所以∠CFE=60°，GF=1．
∵∠CEF=

π

2

，∴CF=4，∴BE=GC=3
∴BH=BCsin∠BEH=

3 3

2

∴AB=BHtan∠AHB=

3 3

2

×

3

=

9

2

∴当AB的长为

9

2

时，二面角A-EF-C为

π

3

．                     
（3）解：连接AF，FB，则几何体ABE-DCF的体积为V=V_F-ABE+V_F-ABCD=

1

3

×

1

2

×

9

2

×3×

3

+

1

3

×

9

2

×

3

×4=

33 3

4

．

点评：本题考查空间直线、平面位置关系的判断，二面角大小求解，考查几何体体积的计算，属于中档题．