题目内容
某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元．该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元．
（1）试分别建立出厂价格、销售价格的模型，并分别求出函数解析式；
（2）假设商店每月购进这种商品m件，且当月销完，试写出该商品的月利润函数；
（3）求该商店月利润的最大值．（定义运算sinα+cosα=
sin(α+
)．
（1）试分别建立出厂价格、销售价格的模型，并分别求出函数解析式；
（2）假设商店每月购进这种商品m件，且当月销完，试写出该商品的月利润函数；
（3）求该商店月利润的最大值．（定义运算sinα+cosα=
| 2 |
| π |
| 4 |
分析：（1）分别设出出厂价波动函数和售价波动函数，利用最高和最低价分别振幅A和B，根据月份求得周期进而求得ω1和ω2，根据最大值求得φ1和φ2；
（2）由（1）中出厂价格及销售价格，利用y=y2-y1，求得每件盈利的表达式．
（3）利用三角函数的性质即可求出利润函数的最大值．
（2）由（1）中出厂价格及销售价格，利用y=y2-y1，求得每件盈利的表达式．
（3）利用三角函数的性质即可求出利润函数的最大值．
解答：解：（1）设出厂价格函数为 f（x）=A1sin（ω1x+φ1）+k1，x∈[0，12]
销售价格函数为g（x）=A2sin（ω2x+φ2）+k2，x∈[0，12}
由题设，A1=
=2，k1=6，ω1=
=
，
A2=
=2，k2=8，ω2=
=
，
将（3，8）代入f（x）可得 2sin（
×3+φ1）+6=8 得φ1=-
+2kπ，k∈Z
将（5，10）代入g（x）可得 2sin（
×5+φ2）+8=10 得φ2=-
+2kπ，k∈Z
故出厂价格函数为f（x）=2sin（
x-
）+6，x∈[0，12}
销售价格函数为g（x）=2sin（
x-
）+8，x∈[0，12}
（2）设盈利函数为H（x），
则H（x）=[g（x）-f（x）]×m=2m[sin（
x-
-）-sin（
x-
）+1]，x∈[0，12}
（3）H（x）=2m[sin（
x-
-）-sin（
x-
）+1]=2m[-cos（
x-
-）-sin（
x-
）+1]
=2m-2
msin(
x)，
∴当sin（
x）=-1时，H（x）取得最大值，最大值为2m+2
m．
销售价格函数为g（x）=A2sin（ω2x+φ2）+k2，x∈[0，12}
由题设，A1=
| 8-4 |
| 2 |
| 2π |
| 4×2 |
| π |
| 4 |
A2=
| 10-6 |
| 2 |
| 2π |
| 4×2 |
| π |
| 4 |
将（3，8）代入f（x）可得 2sin（
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
将（5，10）代入g（x）可得 2sin（
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
故出厂价格函数为f（x）=2sin（
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
销售价格函数为g（x）=2sin（
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
（2）设盈利函数为H（x），
则H（x）=[g（x）-f（x）]×m=2m[sin（
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
（3）H（x）=2m[sin（
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
=2m-2
| 2 |
| π |
| 4 |
∴当sin（
| π |
| 4 |
| 2 |
点评：本题主要考查了在实际问题中建立三角函数的模型的问题，函数模型的选择与应用，三角函数的值域，考查了三角函数的图象和性质来解决问题．综合性较强，考查学生的计算能力．
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