题目内容

某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元，该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设商店每月购进这种商品m件，且当月销完，你估计哪个月份盈利最大？

解：设出厂价波动函数为y₁=6+Asin（ω₁x+φ₁）
根据最高价格和最低价格可知A= $\text{[math]}$ =2 T₁=8，ω₁= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ +φ₁= $\text{[math]}$ ，φ₁=- $\text{[math]}$
∴y₁=6+2sin（ $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ）
设销售价波动函数为y₂=8+Bsin（ω₂x+φ₂）
易知B=2，T₂=8，ω₂= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ π+φ₂= $\text{[math]}$ ，φ₂=- $\text{[math]}$
∴y₂=8+2sin（ $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ）
每件盈利 y=y₂-y₁=[8+2sin（ $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ）][6+2sin（ $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ）]=2-2 $\text{[math]}$ sin $\text{[math]}$ x
当sin $\text{[math]}$ x=-1 $\text{[math]}$ x=2kπ- $\text{[math]}$ ，x=8k-2时y取最大值
当k=1 即x=6时 y最大
∴估计6月份盈利最大
分析：分别设出出厂价波动函数和售价波动函数，利用最高和最低价分别振幅A和B，根据月份求得周期进而求得ω₁和ω₂，根据最大值求得φ₁和φ₂，利用y=y₂-y₁，求得每件盈利的表达式，利用正弦函数的性质求得y取最大值时x的值．
点评：本题主要考查了在实际问题中建立三角函数的模型的问题．突显了运用三角函数的图象和性质来解决问题．