Question

10．已知抛物线y²=12x，若直线的斜率为k且过点（0，-1），
（1）若斜率k=2，求抛物线被直线所截得的弦长；
（2）若直线与抛物线只有一个交点，求斜率k的取值．

Answer 1

分析 （1）设直线与抛物线交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=12x}\\{y=2x-1}\end{array}\right.$消y得4x²-16x+1=0，x₁+x₂=4，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{4}$
可得|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=5$\sqrt{3}$
（2）设直线的方程为y-（-1）=kx即y=kx-1
联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=12x}\\{y=kx-1}\end{array}\right.$消y得k²x²-（2k+12）x+1=0
分k=0，k≠0两种情况讨论

解答 解：（1）设直线与抛物线交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由题意得直线的方程为y-（-1）=2（x-0）即y=2x-1
联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=12x}\\{y=2x-1}\end{array}\right.$消y得4x²-16x+1=0，
x₁+x₂=4，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{4}$
可得|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=5$\sqrt{3}$；
（2）设直线的方程为y-（-1）=kx即y=kx-1
联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=12x}\\{y=kx-1}\end{array}\right.$消y得k²x²-（2k+12）x+1=0
当k=0时直线y=1与抛物线交于一点（$\frac{1}{12}$，0）；
当k≠0时，则△=（2k+12）²-4k²=0．
即k=-3，直线y=3x+1与抛物线相切，只有一个交点
综上所述：斜率k为0或-3时，直线与抛物线只有一个交点．

点评 本题考查抛物线与直线的位置关系，方程思想，属于中档题．