Question

已知函数f（x）=e^x（e是自然对数的底数）的图象为曲线C₁，函数g（x）=ax（a≠0）的图象为曲线C₂．
（1）若曲线C₁与C₂没有公共点，求满足条件的实数a组成的集合A；
（2）当a∈A时，平移曲线C₂得到曲线C₃，使得曲线C₃与曲线C₁相交于不同的两点，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），试用x₁，x₂表示a；
（3）在（2）的条件下试比较a与的大小，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）曲线C₁与C₂没有公共点，
即：e^x-ax=0无解．
设F（x）=e^x-ax，
∴F′（x）=e^x-a，
显然要使曲线C₁与C₂没有公共点，
所以a＞0，
由F′（x）=0，
∴x=lna，且F（x）=e^x-ax的减区间是：（-∞，lna），增区间是：（lna，+∞），
当x=lna时，F（x）_min=F（lna）=a-alna，
由a-alna＞0，
∴0＜a＜e．
综上：A=（0，e）…（4分）
（2）∵A=（0，e），a∈A，
∴a∈（0，e），
∵曲线C₁：f（x）=e^x，曲线C₂：g（x）=ax（a≠0），
平移曲线C₂得到曲线C₃，使得曲线C₃与曲线C₁相交于不同的两点，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），
∴曲线C₃的斜率k=a==，
∴．…（6分）
（3）设x₁＜x₂，，
∵，
以下只需求的正负．
令t=x₂-x₁（t＞0）
∵，
∵，以下只需求的正负
设，
∴=（e^k）²-2ke^k-1，
令φ（k）=（e^k）²-2ke^k-1（k＞0），
φ′（k）=2（e^k）²-2e^k-2ke^k=2e^k（e^k-k-1）（k＞0），
设ω（k）=e^k-k-1（k＞0），
∴ω′（k）=e^k-1（k＞0），
∴ω′（k）＞0，
∴ω（k）单调增，
∴ω（k）=e^k-k-1＞ω（0）=0，
∴φ′（k）＞0，
∴φ（k）单调增，
即：φ（k）=（e^k）²-2ke^k-1＞φ（0）=0
∴，
∴…（14分）
分析：（1）曲线C₁与C₂没有公共点，即：e^x-ax=0无解．设F（x）=e^x-ax，则F′（x）=e^x-a，要使曲线C₁与C₂没有公共点，所以a＞0，由F′（x）=0，知x=lna，由此能求出集合A．
（2）由题设知曲线C₃的斜率k==，由此能得到．
（3）设x₁＜x₂，，，由，只需求的正负．由此能证明．
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易错是计算量大，容易失误，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．