Question

17．将圆x²+y²=1上每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，得到曲线C．
（1）写出曲线C的参数方程；
（2）过点$N（\sqrt{3}，0）$的直线l与C的交点为A，B，与y轴交于点M，且$\overrightarrow{AM}={λ_1}\overrightarrow{AN}$，$\overrightarrow{BM}={λ_2}\overrightarrow{BN}$，求λ₁+λ₂的值．

Answer 1

分析 （1）曲线C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，故可写出曲线C的参数方程；
（2）设直线l的方程 为$x=my+\sqrt{3}$，与$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$联立得$（{m^2}+4）{y^2}+2\sqrt{3}my-1=0$，利用韦达定理，结合$\overrightarrow{AM}={λ_1}\overrightarrow{AN}$，$\overrightarrow{BM}={λ_2}\overrightarrow{BN}$，求λ₁+λ₂的值．

解答 解：（1）设（x₀，y₀）为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上点（x，y），依题意，
得$\left\{\begin{array}{l}x=2{x_0}\\ y={y_0}\end{array}\right.$，从而$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=\frac{x}{2}\\{y_0}=y\end{array}\right.$，由${x_0}^2+{y_0}^2=1$，从而得到$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$
即曲线C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，故C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ为参数）．
（2）设直线l的方程 为$x=my+\sqrt{3}$，与$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$联立得$（{m^2}+4）{y^2}+2\sqrt{3}my-1=0$
设A（x₁，y₁）B（x₂y₂），则${y_1}+{y_2}=-\frac{{2\sqrt{3}m}}{{{m^2}+4}}$，${y_1}{y_2}=-\frac{1}{{{m^2}+4}}$
直线l与y轴交点$M（0，-\frac{{\sqrt{3}}}{m}）$
由$\overrightarrow{AM}={λ_1}\overrightarrow{AN}$得$（-{x_1}，-\frac{{\sqrt{3}}}{m}-{y_1}）={λ_1}（\sqrt{3}-{x_1}，-{y_1}）$∴$-\frac{{\sqrt{3}}}{m}-{y_1}=-{λ_1}{y_1}$
从而${λ_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{{m{y_1}}}+1$，同理${λ_2}=\frac{{\sqrt{3}}}{{m{y_2}}}+1$∴${λ_1}+{λ_2}=\frac{{\sqrt{3}}}{m}（\frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2}）+2=\frac{{\sqrt{3}}}{m}\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{y_1}{y_2}}}+2=8$．

点评 本题考查曲线方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．