Question

在Rt△ABO中，∠BOA＝90°，|OA|＝8，|OB|＝6．已知P是Rt△ABO的内切圆上的任意一点，求点P到各顶点A，B，O距离的平方和的最大值与最小值．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：如图所示，以OA，OB所在的直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则有A(8，0)，B(0，6)．

　　在Rt△ABO中，由勾股定理，得|AB|＝10．

　　设圆的半径长为r，

　　由面积公式，可得S_△ABO＝|OB|·|OA|＝(|OA|·r＋|OB|·r＋|AB|·r)，

　　即48＝24r，解得r＝2．

　　所以圆的方程为(x－2)²＋(y－2)²＝4．

　　设点P的坐标为(a，b)(0≤a≤4，0≤b≤4)，

　　则有(a－2)²＋(b－2)²＝4，即a²＋b²＝4a＋4b－4．

　　所以d²＝|PA|²＋|PB|²＋|OP|²＝(a－8)²＋b²＋a²＋(b－6)²＋a²＋b²＝88－4a(0≤a≤4)．

　　所以(d²)_max＝88－4×0＝88，(d²)_min＝88－4×4＝72．

　　点评：在解平面几何题时，若遇到一些复杂的问题，可建立平面直角坐标系，简化思路．