Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数的图像与轴相切，求证：对于任意互不相等的正实数，，都有.

Answer 1

【答案】（1）当时，在上单调递增；

当时，在单调递增，在上单调递减.,(2)见解析

【解析】

（1）求导函数，按和分类讨论，确定的正负，从而确定单调性；

（2）由（1）知时有极值，才可能满足题意，极大值为0，求得，.不妨设，则，等价于，即证：

令，由于，因此只要证得（）即可．

（1）函数的定义域为，.

当时，，在上单调递增；

当时，由，得.

若，，单调递增；

若，，单调递减

综合上述：当时，在上单调递增；

当时，在单调递增，在上单调递减.

（2）由（1）知，当时，在上单调递增，不满足条件；

当时，的极大值为，

由已知得，故，此时.

不妨设，则

等价于，即证：

令，

故在单调递减，所以.

所以对于任意互不相等的正实数，都有成立