Question

【题目】已知函数．

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）函数在区间上有零点，求的值；

（3）若不等式对任意正实数恒成立，求正整数的取值集合．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 的值为0或3 ；(3) .

【解析】

（1）由的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）先利用导数判断函数的单调性，然后根据零点存在定理可判断在区间、上分别存在一个零点，从而可得结果；（3）当时，不等式为恒成立；当时，不等式可化为，可得，当时，不等式可化为，可得，结合（2），综合三种情况，从而可得结果.

（1），所以切线斜率为，

又，切点为，所以切线方程为．

（2）令，得，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

所以的极小值为，又，

所以在区间上存在一个零点，此时；

因为，，

所以在区间上存在一个零点，此时．综上，的值为0或3．

（3）当时，不等式为．显然恒成立，此时；

当时，不等式可化为，

令，则，

由（2）可知，函数在上单调递减，且存在一个零点，

此时，即

所以当时，，即，函数单调递增；

当时，，即，函数单调递减．

所以有极大值即最大值，于是．

当时，不等式可化为，

由（2）可知，函数在上单调递增，且存在一个零点，同理可得．

综上可知．

又因为，所以正整数的取值集合为．