Question

在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos2A=

3

5

，sinB=

10

10

．
（1）求A+B的值；
（2）若a-b=

2

-1，求a、b、c的值．

Answer 1

分析：（1）根据同角三角函数的基本关系可得cosB的值，再由余弦函数的二倍角公式可得sinA和cosA的值，最后根据两角和的余弦公式可得答案．
（2）根据（1）可求出角C的值，进而得到角C的正弦值，再由正弦定理可求出abc的值．

解答：解：（1）∵A、B为锐角，sinB=

10

10

，
∴cosB=

1-sin2B

=

3 10

10

．
又cos2A=1-2sin²A=

3

5

，
∴sinA=

5

5

，cosA=

1-sin2A

=

2 5

5

．
∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=

2 5

5

×

3 10

10

-

5

5

×

10

10

=

2

2

．
∵0＜A+B＜π，∴A+B=

π

4

．
（2）由（1）知C=

3π

4

，∴sinC=

2

2

．
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

得

5

a=

10

b=

2

c，即a=

2

b，c=

5

b．
∵a-b=

2

-1，∴

2

b-b=

2

-1，∴b=1．
∴a=

2

，c=

5

．

点评：本小题主要考查同角三角函数间的关系、两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力．