题目内容

已知 $数学公式$ ，将f （x）的图象向左平移 $数学公式$ ，再向上平移2个长度单位后，图象关于直线 $数学公式$ 对称．
（1）求实数a的值，并求f（x）取得最大值时x的集合；
（2）求f（x）的单调递增区间．

解：（1）∵已知 $\text{[math]}$ =-2-2cos2x+2 $\text{[math]}$ a•sin2x，
将f（x）的图象向左平移 $\text{[math]}$ 所得图象对应的函数为y=-2-2cos2（x+ $\text{[math]}$ ）+2 $\text{[math]}$ a•sin2（x+ $\text{[math]}$ ）=-2+2sin2x+2 $\text{[math]}$ a•cos2x，
再把所得图象向上平移2个长度单位后，所得图象对应的函数为y=2sin2x+2 $\text{[math]}$ a•cos2x，
∴g（x）=2sin2x+2 $\text{[math]}$ a•cos2x．
∵g（x）的图象关于直线x= $\text{[math]}$ 对称，∴有g（0）=g（ $\text{[math]}$ ），即2 $\text{[math]}$ a= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ a，解得a=1．
则f（x）=2 $\text{[math]}$ sin2x-2cos2x-2=4sin（2x- $\text{[math]}$ ）-2．
当2x- $\text{[math]}$ =2kπ+ $\text{[math]}$ ，即x=kπ+ $\text{[math]}$ 时，f（x）取得最大值2．
因此，f（x）取得最大值时x的集合是{x|x=kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈Z}．
（2）令2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，求得 kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，
因此，f（x）的单调递增区间是[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]（k∈Z）．
分析：（1）先求得将f（x）的图象变换后所得图象对应的函数解析式为 g（x）=2sin2x+2 $\text{[math]}$ a•cos2x，由g（x）的图象关于直线x= $\text{[math]}$ 对称，g（0）=g（ $\text{[math]}$ ），求得a的值，从而求得f（x）的解析式，由此可得f（x）的最大值．
（2）令2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，求得x的范围，即可求得f（x）的单调递增区间．
点评：本题考查三角函数的最值，重点考查正弦函数的对称性质与单调性，难点是辅助角公式的理解与应用，属于中档题．