Question

已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿BD将△BCD翻折到△，使得平面⊥平面ABD．

（Ⅰ）求证：平面ABD；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角的余弦值．

Answer 1

证明：（Ⅰ）平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，

    沿直线BD将△BCD翻折成△

    可知CD=6，BC’=BC=10，BD=8，

即，            

    故．                                           ………………2分

    ∵平面⊥平面，平面平面=，平面，

    ∴平面．                                  ………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面ABD，且，

如图，以D为原点，建立空间直角坐标系．       ………………6分

则，，，．

∵E是线段AD的中点，

∴，．

在平面中，，，

设平面法向量为，

∴ ，即，

令，得，故．                           ………………8分

设直线与平面所成角为，则

．                  ………………9分

∴ 直线与平面所成角的正弦值为．                      ………………10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面的法向量为，

      而平面的法向量为，

∴ ，                                   

      因为二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为．             ………………13分