题目内容

如图，P是圆x²+y²=4上的动点，P点在x轴上的投影是D，点M满足 $数学公式$ ．
（1）求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）过点N（3，0）的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程．
（3）若存在点Q（a，0），使得四边形QAFB为菱形（A，B意义同（2）），求实数a的取值范围．

解：（1）设点M（x，y），P（x₀，y₀），
∵点M满足 $\text{[math]}$ ．
∴x₀=x，y₀=2y
∵点P是圆x²+y²=4上的动点，
∴x²+4y²=4
即动点M的轨迹C的方程： $\text{[math]}$ ，其图形为椭圆．

（2）设点E（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据题意设直线l的方程为y=k（x-3），
由 $\text{[math]}$ 得（1+4k²）x²-24k²x+36k²-4=0
∵直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，
∴△=（-24k²）²-4（1+4k²）（+36k²-4）＞0，解得 $\text{[math]}$ ，
x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，y₁+y₂=k（x₁+x₂-6）= $\text{[math]}$ ；
∵ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，y= $\text{[math]}$ ，
∴顶点E的轨迹方程： $\text{[math]}$ ．

（3）四边形QAFB为菱形，则QA=AB，即（x₁-a）²+y₁²=（x₂-a）²+y₂²，
∴k= $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，
∴a= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，0＜k²＜ $\text{[math]}$ ，解得0＜a＜1，
∴实数a的取值范围：（0，1）．
分析：（1）设点M（x，y），P（x0，y0），将其代入点M满足DM→=12DP→，用点M的坐标表示点P的坐标，代入圆x2+y2=4，化简即可求得动点M的轨迹C的方程，根据方程可知曲线的形状；（2）设点E（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据题意设直线l的方程为y=k（x-3），联立方程，利用韦达定理， $\text{[math]}$ ，即可求得顶点E的轨迹方程；（3）若存在点Q（a，0），使得四边形QAFB为菱形，可得QA=AB，代入，因式分解，利用韦达定理，用k表示a，转化为求函数的值域问题．
点评：考查代入法求轨迹方程，以及直线与圆锥曲线的综合问题，这里侧重与几何图形的几何性质的考查，是把几何问题转化为代数问题的桥梁，综合性较强，特别是（3）的设问，把几何问题和函数的值域结合起来，增加了题目的难度，属难题．