题目内容
已知P是△ABC所在平面内一点，满足|
|+|
|=|
|+|
|=|
|+|
|，则点P是△ABC的（ ）
| PA |
| BC |
| PB |
| AC |
| PC |
| AB |
| A、重心 | B、垂心 | C、内心 | D、外心 |
分析：根据向量的减法分别用
，
，
表示
，
，
，利用数量积运算和题意代入式子进行化简，证出OC⊥AB，同理可得OB⊥AC，OA⊥BC，即证出O是△ABC的垂心．
| PA |
| PB |
| PC |
| BC |
| CA |
| AB |
解答：解：设
=
，
=
，
=
，则
=
-
，
=
-
，
=
-
．
由题可知满足|
|+|
|=|
|+|
|=|
|+|
|，
∴|
|+|
-
|=|
|+|
-
|，
化简可得
•
=
•
，即（
-
）•
=0，
∴
•
=0，∴
⊥
，即OC⊥AB．
同理可得OB⊥AC，OA⊥BC．
∴O是△ABC的垂心．
故选B．
| PA |
| a |
| PB |
| b |
| PC |
| c |
| BC |
| c |
| b |
| CA |
| a |
| c |
| AB |
| b |
| a |
由题可知满足|
| PA |
| BC |
| PB |
| AC |
| PC |
| AB |
∴|
| a |
| c |
| b |
| b |
| a |
| c |
化简可得
| c |
| b |
| a |
| c |
| b |
| a |
| c |
∴
| OC |
| AB |
| AB |
| OC |
同理可得OB⊥AC，OA⊥BC．
∴O是△ABC的垂心．
故选B．
点评：本题考查了向量在几何中应用，主要利用向量的线性运算以及数量积进行化简证明，特别证明垂直主要根据题意构造向量利用数量积为零进行证明．
练习册系列答案
考前必练系列答案
相关题目
已知P是△ABC所在平面内一点，
+
+2
=
，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△APC内的概率是（ ）
| PB |
| PC |
| PA |
| 0 |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
已知P是△ABC所在平面内的一点，若
-
=λ
，其中λ∈R，则点P一定在（ ）
| CB |
| PB |
| PA |
| A、AC边所在的直线上 |
| B、BC边所在的直线上 |
| C、AB边所在的直线上 |
| D、△ABC的内部 |