Question

已知过原点O的一条直线与函数y=log₈x的图象交于A、B两点,分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log₂x的图象交于C、D两点.

（Ⅰ）证明点C、D和原点O在同一条直线上;

（Ⅱ）当BC平行于x轴时,求点A的坐标.

Answer 1

解：（Ⅰ）设点A、B的横坐标分别为x₁,x₂,由题设知,x₁>1,x₂>1.则点A、B纵坐标分别为log₈x₁,log₈x₂.

因为A、B在过点O的直线上,

所以   

点C、D坐标分别为（x₁,log₂x₁）,（x₂,log₂x₂）.

由于

，                                        

OC的斜率

.OD斜率

由此可知,k₁=k₂,

即O、C、D在同一条直线上.                                          

（Ⅱ）由于BC平行于x轴知log₂x₁=log₈x₂,

  即得∴.     

代入x₂log₈x₁=x₁log₈x₂得

由于x₁>1知log₈x₁≠0,∴

考虑解得于是点A的坐标为