题目内容
已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数的y=log2x的图象交于C、D两点．（1）证明点C、D和原点O在同一条直线上；
（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标．
分析：（1）设出A、B的坐标，解出C、D的坐标，求出OC、OD的斜率相等则三点共线．
（2）BC平行x轴，B、C纵坐标相等，推出横坐标的关系，结合（1）即可求出A的坐标．
（2）BC平行x轴，B、C纵坐标相等，推出横坐标的关系，结合（1）即可求出A的坐标．
解答：解：（Ⅰ）设点A、B的横坐标分别为x1、x2由题设知，x1＞1，x2＞1．则点A、B纵坐标分别为log8x1、log8x2．
因为A、B在过点O的直线上，所以，
=
点C、D坐标分别为（x1，log2x1），（x2，log2x2）．
由于log2x1=
=3log8x1，
log2x2=
=3log8x2
OC的斜率k1=
=
，
OD的斜率k2=
=
．
由此可知，k1=k2，
即O、C、D在同一条直线上．
（Ⅱ）由于BC平行于x轴知
log2x1=log8x2，
即得log2x1=
log2x2，
∴x2=x13．
代入x2log8x1=x1log8x2得x13log8x1=3x1log8x1．
由于x1＞1知log8x1≠0，
∴x13=3x1．
考虑x1＞1解得x1=
．
于是点A的坐标为（
，log8
）．
因为A、B在过点O的直线上，所以，
| log8x1 |
| x1 |
| log8x2 |
| x2 |
点C、D坐标分别为（x1，log2x1），（x2，log2x2）．
由于log2x1=
| log8x1 |
| log82 |
log2x2=
| log8x2 |
| log82 |
OC的斜率k1=
| log2x1 |
| x1 |
| 3log8x1 |
| x1 |
OD的斜率k2=
| log2x2 |
| x2 |
| 3log8x2 |
| x2 |
由此可知，k1=k2，
即O、C、D在同一条直线上．
（Ⅱ）由于BC平行于x轴知
log2x1=log8x2，
即得log2x1=
| 1 |
| 3 |
∴x2=x13．
代入x2log8x1=x1log8x2得x13log8x1=3x1log8x1．
由于x1＞1知log8x1≠0，
∴x13=3x1．
考虑x1＞1解得x1=
| 3 |
于是点A的坐标为（
| 3 |
| 3 |
点评：本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力．
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