Question

已知过原点O的一条直线与函数y=log₈x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log₂x的图象交于C、D两点. 

(1)证明: 点C、D和原点O在同一直线上.

(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标.

Answer 1

(1)证明略 (2) A(，log₈)

解析:

设A、B的横坐标分别为x₁、x₂，由题设知x₁＞1,x₂＞1,点A(x₁,log₈x₁),B(x₂,log₈x₂).

因为A、B在过点O的直线上，所以,又点C、D的坐标分别为(x₁,log₂x₁）、(x₂,log₂x₂).

由于log₂x₁=3log₈x₁,log₂x₂=3log₈x₂,则

由此得k_OC=k_OD,即O、C、D在同一直线上 

(2)解:由BC平行于x轴，有log₂x₁=log₈x₂,又log₂x₁=3log₈x₁

∴x₂=x₁³

将其代入,得x₁³log₈x₁=3x₁log₈x₁,

由于x₁＞1知log₈x₁≠0,故x₁³=3x₁x₂=,于是A(，log₈).