Question

如图，半圆O的直径AB=7，两弦AB、CD相交于点E，弦CD=

7

2

，且BD=5，则DE等于

 

．

Answer 1

分析：根据圆周角定理得出的两组相等的对应角，易证得△AEB∽△DEC，根据CD、AB的长，即可求出两个三角形的相似比；设BE=x，则DE=5-x，然后根据相似比表示出AE、EC的长，连接BC，首先在Rt△BEC中，根据勾股定理求得BC的表达式，然后在Rt△ABC中，由勾股定理求得x的值，进而可求出DE的长．

解答：解：∵∠D=∠A，∠DCA=∠ABD，∴△AEB∽△DEC；
∴

EC

BE

=

DE

AE

=

CD

AB

=

1

2

；
设BE=x，则DE=5-x，EC=

1

2

x，AE=2（5-x）；
连接BC，则∠ACB=90°；
Rt△BCE中，BE=x，EC=

1

2

x，则BC=

3

2

x；
在Rt△ABC中，AC=AE+EC=10-

3

2

x，BC=

3

2

x；
由勾股定理，得：AB²=AC²+BC²，
即：7²=（10-

3

2

x）²+（

3

2

x）²，
整理，得x²-10x+17=0，解得x₁=5+2

2

，x₂=5-2

2

；
由于x＜5，故x=5-2

2

；
则DE=BD-BE=2

2

．
故答案为2

2

．
方法二：
设DE=x，连接AD
∵∠D=∠A，∠DCA=∠ABD，∴△AEB∽△DEC；
∴

EC

BE

=

DE

AE

=

CD

AB

=

1

2

则AE=2x
在Rt△ADB中，AD²=49-25=24
在Rt△ADE中，AD²=x²+（2x）²=24，解得x=2

2

故答案为：2

2

．

点评：此题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用等知识；本题要特别注意的是BE、DE不是相似三角形的对应边，它们的比不等于相似比，以免造成错解．