Question

5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3}{2}$b．
（Ⅰ）求a+c-2b的值；
（Ⅱ）若B=$\frac{π}{3}$，S=4$\sqrt{3}$，求b．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件结合正弦定理以及二倍角公式化简，推出结果即可．
（2）利用三角形的面积以及余弦定理，即可求出b的值．

解答 解：（Ⅰ）由正弦定理得$sinA{cos^2}\frac{C}{2}+sinC{cos^2}\frac{A}{2}=\frac{3}{2}sinB$
即$sinA\frac{1+cosC}{2}+sinC\frac{1+cosA}{2}=\frac{3}{2}sinB$
所以sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=3sinB，
即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，
因为sin（A+C）=sinB，所以sinA+sinC=2sinB
由正弦定理得a+c-2b=0；…（6分）
（Ⅱ）因为$S=\frac{1}{2}acsinB=\frac{\sqrt{3}}{4}ac=4\sqrt{3}$，所以ac=16，
又由余弦定理有b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac．
由（Ⅰ）得a+c=2b，所以b²=4b²-48，得b=4．…（12分）

点评 本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，考查三角函数的化简求值，考查计算能力．