Question

（本小题满分13分）已知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点，设点是线段上的一个动点，且，求的取值范围；

（3）设点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、三点共线？若存

在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）；（2）；（3）在轴上存在定点，使得、、三点共线．

【解析】

试题分析：（1）由椭圆的焦点在轴上，设出椭圆方程，然后由已知条件列出关于的方程组，从而解出，得到椭圆方程；（2）因为直线过椭圆的右焦点，且与坐标轴不垂直，所以设直线：（），与椭圆方程联立可得，设则，由韦达定理得，.因为，所以，代入坐标，利用韦达定理可得即，解得；（3）假设在轴上存在定点，使得、、三点共线，由点坐标可以求得点坐标，从而得到直线的方程为，令，则 ，再由点在直线上，得到 ，代入中化简既得.

试题解析：（1）设椭圆方程为，由题意，

又 ，∴，故椭圆方程为 ． 4分

（2）由（1）得右焦点，则，设的方程为（）代入，得

，∴，设

则，， 且， ．

∴，

由，得，

，

，

，

∴当时，有成立． 9分

（3）在轴上存在定点，使得、、三点共线．依题意，

直线的方程为，令，则 ，

点在直线上， ∴ ，

∴

，

∴ 在轴上存在定点，使得、、三点共线． 13分

考点：（1）求椭圆方程；（2）直线与圆锥曲线；（3）圆锥曲线中的存在性问题.