题目内容

已知sin（2α+β）=3sinβ，设tanα=x，tanβ=y，记y=f（x）．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）定义正数数列 $数学公式$ ，数列 $数学公式$ 是等比数列；
（Ⅲ）令 $数学公式$ 成立的最小n值．

解：（Ⅰ）∵sin（2α+β）=3sinβ，
∴sin2αcosβ+cos2αsinβ=3sinβsin2αcosβ=sinβ（3-cos2α）
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
（Ⅱ）∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴数列 $\text{[math]}$ 是以2为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列．
（Ⅲ）∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
又 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴满足 $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）由sin（2α+β）=3sinβ，知sin2αcosβ+cos2αsinβ=3sinβsin2αcosβ=sinβ（3-cos2α）， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由此能求出f（x）的表达式．
（Ⅱ）由 $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，故数列 $\text{[math]}$ 是等比数列．
（Ⅲ）由 $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ，由此入手能导出满足 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查数列的性质和综合运用，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．