Question

已知椭圆的离心率为，且过点，记椭圆的左顶点为A．
（1）求椭圆的方程；
（2）设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C两点，试求△ABC面积的最大值；
（3）过点A作两条斜率分别为k₁，k₂的直线交椭圆于D，E两点，且k₁k₂=2，求证：直线DE恒过一个定点．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点P（），建立方程，求出几何量，从而可得椭圆C的方程；
（2）设B（m，n），C（-m，n），则S_△ABC=×2|m|×|n|=|m|•|n|，利用基本不等式可求△ABC面积的最大值；
（3）设AB、AC的方程，代入椭圆方程可求B、C的坐标，从而可得直线BC的方程，整理并令y=0，即可证得直线BC恒过定点．
解答：（1）解：∵椭圆的离心率为，且过点，
∴，解得，
所以椭圆C的方程为x²+2y²=1…4分
（2）解：设B（m，n），C（-m，n），则S_△ABC=×2|m|×|n|=|m|•|n|，…6分
又|m|•|n|，所以|m|•|n|，当且仅当时取等号…8分
从而S_△ABC≤，即△ABC面积的最大值为…9分
（3）证明：因为A（-1，0），所以AD：y=k₁（x+1），AE：y=k₂（x+1），
由，消去y，得，解得x=-1或x=，
∴
同理E（）
∵k₁k₂=2，∴…12分
∴直线DE的方程为，
即y-，即y=…14分
所以，
则由，得直线DE恒过定点…16分．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，考查直线恒过定点，属于中档题．