Question

已知函数f（x）=

1

x

+alnx，常数a≠0，求f（x） 的单调区间及极值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：先求出f′（x）=-

1

x2

+

a

x

=-

1-ax

x2

，讨论①a＜0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）递减，②a＞0时，得出f（x）在（0，

1

a

）递减，在（

1

a

，+∞）递增，
从而f（x）_极小值=f（

1

a

）=a-alna，无极大值．

解答： 解：∵f′（x）=-

1

x2

+

a

x

=-

1-ax

x2

，
①a＜0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）递减，
②a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞

1

a

，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜

1

a

，
∴f（x）在（0，

1

a

）递减，在（

1

a

，+∞）递增，
∴f（x）_极小值=f（

1

a

）=a-alna，无极大值．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题．