题目内容

已知f（x）=ln（x+1）．
（1）若 $数学公式$ ，求g（x）在[0，2]上的最大值与最小值；
（2）当x＞0时，求证 $数学公式$ ；
（3）当n∈N₊且n≥2时，求证： $数学公式$ ．

（1）解： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴g（x）在[0，1]上单调减，在[1，2]上单调增
∵g（0）=0，g（1）= $\text{[math]}$ ，g（2）=-1+ln3
∴g（x）在[0，2]上的最大值为-1+ln3，最小值为0
（2）证明：函数的定义域为（-1，+∞）
构造函数h（x）=f（x）-x，∴h′（x）= $\text{[math]}$
∴函数在（-1，0）上单调增，在（0，+∞）上单调减
∴在x=0处，函数取得极大值，也是最大值
∴h（x）≤h（0）=0
∴f（x）-x≤0
∵x＞0，∴ $\text{[math]}$
构造函数φ（x）=f（x）- $\text{[math]}$ ，∴φ′（x）= $\text{[math]}$
∴函数在（-1，0）上单调减，在（0，+∞）上单调增
∴在x=0处，函数取得极小，也是最小值
∴φ（x）≥φ（0）=0
∴f（x）- $\text{[math]}$ ≥0
∵x＞0，∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
（3）证明：∵f（x）=ln（x+1），∴f（n）-f（n-1）=f（ $\text{[math]}$ ）
由（2）知： $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$
叠加可得： $\text{[math]}$
分析：（1）求导函数，确定合适的单调性，g（x）在[0，1]上单调减，在[1，2]上单调增，比较端点的函数值，即可确定g（x）在[0，2]上的最大值与最小值；
（2）函数的定义域为（-1，+∞），构造函数h（x）=f（x）-x，可得函数在（-1，0）上单调增，在（0，+∞）上单调减，从而在x=0处，函数取得极大值，也是最大值，同理构造函数φ（x）=f（x）- $\text{[math]}$ ，可得函数在（-1，0）上单调减，在（0，+∞）上单调增，从而在x=0处，函数取得极小，也是最小值
（3）根据f（x）=ln（x+1），可得f（n）-f（n-1）=f（ $\text{[math]}$ ）由（2）知： $\text{[math]}$ ，从而 $\text{[math]}$ ，进而利用叠加可得结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查不等式的证明，解题的关键是正确求导，确定函数的单调性，适当构造函数，确定函数的最值．