题目内容
设M是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿y轴方向伸长为原来5倍的伸压变换．（1）求直线4x-10y=1在M作用下的方程；
（2）求M的特征值与特征向量．
【答案】分析：（1）先求伸压变换
，再求出点的变换规律，代入4x-10y=1，从而求出方程；（2）由矩阵M的特征多项式
，所以M的特征值为λ1=1，λ2=5，进而求出对应的特征向量．
解答：（1）
．设（x'，y'）是所求曲线上的任一点，
，
所以
所以
代入4x-10y=1得，4x'-2y'=1，
所以所求曲线的方程为4x-2y=1．
（2）矩阵M的特征多项式
，
所以M的特征值为λ1=1，λ2=5．
当λ1=1时，由Mα1=λ1α1，得特征向量
；
当λ2=5时，由Mα2=λ2α2，得特征向量
．
点评：本题考查矩阵的性质和应用、特征值与特征向量的计算，解题时要注意特征值与特征向量的计算公式的运用．细
，再求出点的变换规律，代入4x-10y=1，从而求出方程；（2）由矩阵M的特征多项式，所以M的特征值为λ1=1，λ2=5，进而求出对应的特征向量．解答：（1）
．设（x'，y'）是所求曲线上的任一点，，所以
所以代入4x-10y=1得，4x'-2y'=1，所以所求曲线的方程为4x-2y=1．
（2）矩阵M的特征多项式
，所以M的特征值为λ1=1，λ2=5．
当λ1=1时，由Mα1=λ1α1，得特征向量
；当λ2=5时，由Mα2=λ2α2，得特征向量
．点评：本题考查矩阵的性质和应用、特征值与特征向量的计算，解题时要注意特征值与特征向量的计算公式的运用．细
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