Question

已知x＝4是函数f（x）＝alnx＋x²－12x+11的一个极值点．

       （1）求实数a的值；

       （2）求函数f（x）的单调区间；

       （3）若直线y＝b与函数y＝f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．

Answer 1

（1）∵f′（x）＝＋2x－12，

∴f′（4）＝＋8－12＝0

因此a＝16   …………………………………………………………………………3分

（2）由（1）知，

f（x）＝16lnx＋x²－12x＋11，x∈（0，＋∞）

f′（x）＝                       ……………………………………5分

当x∈（0,2）∪（4，＋∞）时，f′（x）＞0

当x∈（2,4）时，f′（x）＜0……………………………………………………………………7分

所以f（x）的单调增区间是（0,2），（4，＋∞）

f（x）的单凋减区间是（2,4） ……………………………………………………………………8分

（3）由（2）知，f（x）在（0,2）内单调增加，在（2,4）内单调减少，在（4，＋∞）上单调增加，且当x＝2或x＝4时，f′（x）＝0

所以f（x）的极大值为f（2）＝16ln2－9，极小值为f（4）＝32ln2－21

因此f（16）＝16ln16+16²－12×16+11＞16ln2－9＝f（2）

f（e^－2）＜－32＋11＝－21＜f（4）

所以在f（x）的三个单调区间（0,2），（2,4） ，（4，＋∞）内，直线y＝b与y＝f（x）的图象各有一个交点，

当且仅当f（4）＜b＜f（2）成立…………………………………………………………13分

因此，b的取值范围为（32 ln2－21,16ln2－9）．……………………………………14分