Question

各项均为正数的数列{a_n}中，a₁=1，S_n是数列{a_n}的前n项和，对任意n∈N^*，有2S_n=2pa_n²+pa_n-p（p∈R）
（1）求常数p的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）记b_n=

4Sn

n+3

•2n，求数列{b_n}的前n项和T．

Answer 1

分析：（1）根据a₁=1，对任意的n∈N*，有2S_n=2pa_n²+pa_n-p，令n=1，解方程即可求得结果；
（2）由2S_n=2a_n²+a_n-1，知2S_n-1=2a_n-1²+a_n-1-1，（n≥2），所以（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（3）根据bn=

4Sn

n+3

•2n求出数列{b_n}的通项公式，利用错位相减法即可求得结果．

解答：解：（1）∵a₁=1，对任意的n∈N*，有2S_n=2pa_n²+pa_n-p
∴2a₁=2pa₁²+pa₁-p，即2=2p+p-p，解得p=1；
（2）2S_n=2a_n²+a_n-1，①
2S_n-1=2a_n-1²+a_n-1-1，（n≥2），②
①-②即得（a_n-a_n-1-

1

2

）（a_n+a_n-1）=0，
因为a_n+a_n-1≠0，所以a_n-a_n-1-

1

2

=0，
∴an=

n+1

2

（3）2S_n=2a_n²+a_n-1=2×

(n+1)2

4

+ 

n+1

2

-1，
∴S_n=

n2+3n

4

，
∴bn=

4Sn

n+3

•2n=n•2ⁿ
T_n=1×2¹+2×2²+…+n•2ⁿ③
又2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n2ⁿ⁺¹ ④
④-③T_n=-1×2¹-（2²+2³+…+2ⁿ）+n2ⁿ⁺¹=（n-1）2ⁿ⁺¹+2
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2

点评：本题考查数列的性质和应用，数列前n项和与数列通项公式的关系，以及错位相减法求数列的前n项和，考查分析解决问题的能力和运算能力，属中档题．