Question

（2011•西城区二模）数列{a_n}满足a₁=1，an+1=

n-λ

n+1

an，其中λ∈R，n=1，2，…．
①当λ=0时，a₂₀=

1

20

；
②若存在正整数m，当n＞m时总有a_n＜0，则λ的取值范围是

（2k-1，2k），k∈N^*

．

Answer 1

分析：①当λ=0时，a_n+1=

n

n+1

a_n，利用累积法求通项公式后，再求a₂₀即可．
②记b_n=

n-λ

n+1

（n=1，2，…），则λ满足

b2k=  2k-λ 2k+1 ＞0 b2k-1= 2k-1-λ 2k ＜0

．由此可求出故λ的取值范围．

解答：解：①当λ=0时，
a_n+1=

n

n+1

a_n，

an+1

an

=

n

n+1

∴

a2

a1

=

1

2

a3

a2

=

2

3

…

an

an-1

=

n-1

n

以上各式相乘得出

an

a1

=

1

n

又a₁=1，
∴a_n=

1

n

．
a₂₀=

1

20

②记b_n=

n-λ

n+1

（n=1，2，），根据题意可知，且λ≠n（n∈N^*），这时总存在n₀∈N^*，满足：当n≥n₀时，b_n＞0；
当n≤n₀-1时，b_n＜0．所以由a_n+1=b_na_n及a₁=1＞0可知，若n₀为偶数，
则an0＜0，从而当n＞n₀时，a_n＜0；若n₀为奇数，则an0＞0，
从而当n＞n₀时a_n＞0．因此“存在m∈N^*，当n＞m时总有a_n＜0”
的充分必要条件是：n₀为偶数，
记n₀=2k（k=1，2，），则λ满足

b2k=  2k-λ 2k+1 ＞0 b2k-1= 2k-1-λ 2k ＜0

．
故λ的取值范围是λ∈（2k-1，2k），
故答案为：

1

20

，（2k-1，2k），（k=1，2，），

点评：本题考查数列知识的综合运用，考查累积法求通项公式，数列的函数性质，需具有计算、推理论证、分类讨论的能力．